La Geometria, lo studio delle proprietà dello spazio, delle dimensioni e delle relazioni spaziali, ha una storia millenaria. Nata probabilmente in seguito a esigenze pratiche, in Occidente ha trovato una prima sistemazione teorica nei lavori dei Greci, culminati con la famosa opera di Euclide. In seguito questa scienza è stata estesa (a casi “non” Euclidei) da Lobachevsky e poi formalizzata in modo sistematico da Hilbert. Come vedremo, di geometrie ve ne sono tre: quella Euclidea, quella ellittica e quella iperbolica. Diverse tra loro, ma tutte rigorose.

Come parte della Matematica, si chiede alla Geometria di costituire una teoria formale a tutti gli effetti, ovvero un sistema coerente[1] e completo[2] che abbia rette, piani e punti come enti primitivi. E che parta da alcuni assiomi (o postulati, indimostratibili, assunti per veri) e che, utilizzando procedimenti logici, sia in grado di dimostrare teoremi. Ovvero di dimostrare affermazioni vere di complessità superiore (quindi non immediatamente evidenti a partire dagli assiomi).

Tutto questo sia per il caso bidimensionale (geometria piana) e in ugual modo, mutatis mutandis, in tre dimensioni (geometria spaziale).

Euclide

La Geometria probabilmente nasce dalla necessità di misurare delle estensioni spaziali (come i campi coltivati), religiose (costruzione di templi, di altari), astronomiche (studio del moto delle stelle) ed è una attività antichissima. Saranno tuttavia gli antichi Greci a compiere un passo concettuale fondamentale, una astrazione decisiva. Furono infatti i primi a considerare la Geometria come conoscenza astratta, come sistema da studiare a sé stante – indipendentemente dalle applicazioni. E questo rese possibile un progresso straordinario.

L’opera di fondazione di tale conoscenza è senz’altro quella di Euclide, i famosi Elementi, scritta attorno al 300 a.C. [1], consistente di ben tredici libri. In essa è presumibile che Euclide avesse utilizzato e sistematizzato contributi di altri grandi sapienti quali Talete, Pitagora ed Eudosso.

Il lavoro di Euclide fece da modello di riferimento per oltre duemila anni, come il primo tentativo logicamente consistente di sviluppare un sistema matematico, nel senso precisato sopra – un sistema formale vero e proprio. Con molte delle caratteristiche che tale sistema deve avere anche per la logica moderna (coerenza e completezza in primis).

[1] Chiamiamo coerente un sistema formale che non si contraddica. Ovvero che non possa dimostrare al tempo stesso una affermazione e il suo contrario.
[2] Chiamiamo completo un sistema formale in grado di dire, per tutti gli enunciati che lo riguardano, se essi siano veri oppure se siano falsi.

Le osservazioni di Schopenhauer

Tuttavia l’analisi posteriore dimostrerà che nel lavoro di Euclide esistevano leggere incongruenze. Il primo a sospettarlo fu probabilmente il filosofo Arthur Schopenhauer, che concentrò la sua critica attorno al famoso “quinto postulato” di Euclide – quello che afferma che data una retta e un punto al di fuori di essa, da questo punto è possibile tracciare una, e una sola parallela alla retta data inizialmente[3].

Schopenhauer riteneva che tale postulato non fosse sufficientemente evidente da poter essere assunto come assioma – ed è probabile che il filosofo si fosse insospettito per il fatto che Euclide stesso aveva tentato di dimostrarlo (a partire dagli altri assiomi), mostrando così una scarsa fiducia nella natura assiomatica di questo enunciato. Infatti, di un assioma non si cerca mai di dimostrarlo perché lo si considera autoevidente.

Lobachevsky: la geometria non è solo quella Euclidea

Un colpo decisivo in questa direzione fu sferrato nel 1829 dal matematico russo Nikolaj Lobachevsky[4], che andò rigorosamente a dimostrare che il quinto postulato non era affatto necessario per la costituzione di un sistema formale completo e coerente; anzi, gli altri postulati precedenti già formavano un sistema formale che possedeva tutti i requisiti necessari. A tale sistema si sarebbe poi dato il nome di geometria assoluta.

Lobachevksy sostituì il quinto postulato di Euclide con un enunciato completamente diverso: “Dati una retta r e un punto P non appartenente a r, esistono almeno due (e in realtà infinite) rette passanti per P che non intersecano r (cioè parallele a r).” La geometria ottenuta in questo modo (detta “iperbolica”) era altrettanto coerente di quella Euclidea [2].

Tra le due geometrie, quella Euclidea e quella di Lobachevsky vi erano poi altre differenze: per Euclide la somma degli angoli interni di un triangolo era di 180 gradi, mentre la geometria iperbolica dava luogo a triangoli per i quali tale somma era sempre inferiore a 180 gradi.

Naturalmente la scoperta di Lobachevsky suscitò una grandissima sorpresa perché il sistema Euclideo veniva in qualche modo giudicato come “perfetto” e in qualche modo “unico”. Mentre invece, evidentemente, unico non lo era.

A completare il quadro delle innovazioni, sempre nel XIX secolo, Bernhard Riemann introduce la geometria “ellittica”. Questa geometria, che può essere visualizzata come lo studio dello spazio su una superficie a curvatura positiva (ad esempio, la superficie di una sfera), adotta un postulato delle parallele completamente diverso: “Dati una retta a e un punto P non appartenente ad a, non esistono rette passanti per P che siano parallele a (ovvero, tutte le rette per P intersecano necessariamente a)”. Come conseguenza, nella geometria ellittica, la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180 gradi.

[3] Questa è non è la formulazione originale Euclidea, ma quella semplificata e più nota del matematico scozzese del XVII secolo John Playfair, universalmente accettata.
[4] A conclusioni simili arrivò indipendentemente anche il matematico ungherese Jànos Bolyai.

Hilbert

Tra la fine dell’800 e l’inizio del ‘900 si occupa di Geometria una figura titanica della Matematica: David Hilbert. Prima di tutto, Hilbert andò a sistemare bene tutte le piccole imperfezioni fondazionali della geometria Euclidea stessa, dando pieno rigore logico alla materia.

Prima di tutto, Hilbert chiarì quali fossero gli assiomi inespressi nell’originale lavoro di Euclide ed in secondo luogo adottò un approccio completamente formalista, in base al quale i concetti di punto, retta e piano non vengono definiti dalla loro natura fisica o intuitiva, bensì vengono considerati enti primitivi non definibili se non tramite le relazioni che intercorrono tra di loro e che sono garantite dagli assiomi. In senso Hilbertiano, non importa cosa realmente siano rette, piani e punti, ma quale sia il loro comportamento in relazione agli assiomi – un approccio che è essenzialmente quello dell’assiomatica moderna.

Infine Hilbert si preoccupò del fatto che gli assiomi dovessero essere del tutto indipendenti gli uni dagli altri (e infatti il V postulato è del tutto indipendente dai precedenti) e che il sistema da lui costruito avesse le caratteristiche di completezza e coerenza viste in precedenza.

In ambito di geometria, completezza significa che gli assiomi devono essere sufficienti a dimostrare logicamente tutti i teoremi noti (ad esempio nel caso della geometria euclidea). Invece coerenza significa che non deve essere possibile dedurre dagli assiomi sia un enunciato che la sua negazione.

In sintesi, Hilbert prese la geometria euclidea e la ricostruì come un modello puramente logico-deduttivo, eliminando ogni dipendenza dall’intuizione e rendendola di fatto un modello per l’assiomatica formale di tutta la matematica. Il suo schema, descritto nella sua monumentale opera Grundlagen der Geometrie [3], è descritto in modo completo nell’appendice A.1 di [4] che fornisce la base per la conclusione del nostro discorso.

Le tre geometrie

Nella Appendice A.1 della referenza [4] vengono elencati e descritti in dettaglio i primi quattro gruppi di assiomi della Geometria:

Gruppo I – 8 assiomi di incidenza (o connessione)

Gruppo II – 4 assiomi di ordine

Gruppo III – 5 assiomi di congruenza

Gruppo IV – 2 assiomi di continuità

Questi assiomi sono fondamentali per la costruzione di tutta la Geometria e il loro insieme viene definito geometria assoluta. Essa viene a costituire un sistema che è coerente (ovvero non produce contraddizioni), ma tuttavia risulta incompleto. Ed essa è un sistema incompleto proprio perché non è in grado di dimostrare l’enunciato delle parallele – ma nemmeno di negarlo.

L’unica possibilità appare quindi quella di aggiungere l’enunciato delle parallele come nuovo assioma, come nuovo postulato – appunto il V postulato. E tale operazione può essere fatta in tre modi, come sintetizzato in figura 1. Secondo il modo di Lobachevsky (geometria iperbolica), secondo il modo tradizionale (geometria euclidea) e secondo il modo di Riemann (geometria ellittica).

Le geometrie (nel nostro spazio ordinario) sono quindi tre – e tutte e tre sono schemi assiomatici formali coerenti e completi.

Fig. 1. Le tre possibilità di costruzione di geometrie nello spazio che siano coerenti e complete. Si noti che nei tre casi la somma degli angoli interni di un triangolo è diversa.

Bibliografia

1) Scheda su Euclide, Enciclopedia della Matematica, Treccani
2) N. Lobachevsky, Principi della Geometria – 1829.
3) D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie – 1899
4) V. A. Ilyn and E.G. Pozniak, Analytic Geometry, English Translation, Mir Publishers, Moscow – 1984.

Autore: Marco Giammarchi